Математику уж затем изучать следует, что она ум в порядок приводит.
Михаил Васильевич Ломоносов
Математика даёт надёжнейшие правила: тому кто им следует — тому не опасен обман чувств.
Леонард Эйлер
Давным-давно
Давно известный парадокс Зенона про то, как быстроногий Ахилл (Ахиллес) догонял черепаху. Догонял-догонял и…
... до сих пор многие люди не могут справиться с задачкой, заданной ещё до нашей эры.
Разберём «проблему»:
Как-то раз неторопливая черепаха отправилась в путь. Спустя некоторое время – когда черепаха прошла какое-то расстояние – за ней побежал быстроногий Ахилл. Теперь предлагается рассуждение:
1. Пока Ахилл пробежит расстояние, уже пройденное черепахой, пройдёт какое-то время
2. За это время (см. п.1) черепаха пройдёт какое-то расстояние.
Получаем ситуацию такую же, как в самом начале. И рассуждения (п.п.1, 2) можно повторять бесконечное число раз.
Отсюда делаем вывод: Ахилл всегда находится сзади черепахи и никогда не догонит её.
Кто-то начинает спорить, что, дескать, как же так, все понимают, что это чушь. Ахилл догонит и перегонит, достаточно взять разность скоростей и посчитать, задачка-то для школьников … Всё так. Но задача Зенона была, естественно, не про «посчитать».
Вопрос в том: как, оставаясь в рамках модели, предложенной Зеноном (рассуждения 1–2) разрешить противоречие (вывод, что Ахилл никогда не догонит черепаху) с повседневным опытом, с действительностью. Или показать, что модель Зенона некорректна.
Разберёмся поподробнее
Действительно, когда Ахилл только начинает бег - черепаха уже находится где-то впереди. И, рассуждая так, как предлагает Зенон, получаем бесконечно повторяющийся набор ситуаций, в каждой из которых Ахилл находится (хоть чуть-чуть) сзади черепахи.
В рассуждении всё вроде бы нормально, никаких трюков, обманов.
А вывод? Что значит: «Ахилл никогда не догонит черепаху», или: «Ахилл всегда находится сзади черепахи»?
Значит ли это, что не существует такого момента времени, когда Ахилл догонит черепаху? Или – что не существует такого места (точки на пути), где Ахилл догонит черепаху? Это явно неверно! И эти выводы совсем не следует из рассуждений!
Действительно, в рассуждениях говорилось о бесконечном числе ситуаций, положений, когда Ахилл был сзади черепахи. И только об этом!
Бесконечное число ситуаций не означает, что бесконечно расстояние, которое пробежит Ахилл до того, как догонит черепаху (или затраченное на это время).
В каждой ситуации (когда Ахилл «добегает» до места, где перед этим была черепаха) расстояние между черепахой и Ахиллом становится всё меньше. Отрезок пути между ними постепенно «стягивается» к точке. Вспомните, что любой отрезок прямой состоит из бесконечного числа точек. И это никого не удивляет. Так и в случае с Ахиллом и черепахой бесконечное число постоянно уменьшающихся отрезков в сумме дают отрезок конечной длины! То есть, Ахилл догонит черепаху, пробежав конечное расстояние. А то, что это расстояние можно представить как бесконечную сумму бесконечно уменьшающихся отрезков, так это не парадокс, это – запросто! Это просто выбор модели.
То же самое можно сказать и о времени. Время, за которое Ахилл пробегает каждый (последующий – уменьшающийся) отрезок пути становится всё меньше и меньше, стремясь к нулю. Так, что бесконечная сумма уменьшающихся «отрезков» времени образует конечную величину. В этом и кроется разгадка парадокса.
Как только разговор заходит о расстоянии (или о времени) одними рассуждениями уже не обойтись, становятся нужны измерения.
Поконкретнее
А вот теперь посчитаем (оставаясь в рамках модели, предложенной Зеноном). Давайте просуммируем отрезки пути, которые пробегает Ахилл, пока догоняет черепаху.
Если в самом начале расстояние до черепахи равно L0, Ахилл пробежит его (со скоростью VA) за время
За это время черепаха пройдёт (со скоростью VЧ) расстояние
Ахилл пробежит это расстояние за время
За это время черепаха пройдёт расстояние
и так далее...
Запишем расстояния.
В самом начале L0 , затем
То есть, каждое следующее расстояние равно предыдущему, умноженному на VЧ / VА . Если, например, скорость Ахилла вдвое больше скорости черепахи, то
и тогда расстояния от черепахи до Ахилла равны:
Если начальное расстояние от Ахилла до черепахи L0=100 метров, то следующий отрезок пути L1 будет 50 метров, потом – 25 метров, … десятый отрезок – меньше 10 см, а двадцатый – меньше 0.1 мм - приблизительно с толщину волоса.
Это если скорость Ахилла вдвое больше скорости черепахи. Если Ахилл побежит быстрее, то отрезки пути будут уменьшаться быстрее.
Теперь запишем сумму всех отрезков, которые пробегает Ахилл, догоняя черепаху:
Сумма в скобках имеет бесконечное число слагаемых, но она – сумма – конечное число. И найти его совсем несложно. Обозначим
Внимательно посмотрим на слагаемые (вспомним) и заметим, что каждое следующее вдвое меньше предыдущего. Перепишем:
То, что записано в скобках – бесконечная сумма, которая начинается с 1 и у которой каждое слагаемое вдвое меньше предыдущего. А ведь мы обозначили такую бесконечную сумму (ту, что теперь в скобках) буквой S. Подставим S вместо суммы в скобках и получим:
Теперь всё совсем просто:
и, наконец, S = 2.
Итак, бесконечная сумма
Значит, Ахилл догонит черепаху, когда пробежит расстояние вдвое больше L0 (того, что отделяло его от черепахи вначале).
Конечно, это верно, если скорость Ахилла вдвое больше черепашьей. Если отношение скоростей Ахилла и черепахи другое, то и расстояние до встречи будет другим. Об этом – ниже.
Подобные выкладки можно записать и о времени движения.
Кстати
Есть замечательная иллюстрация тому, как бесконечная сумма может быть равна конечному числу. Нарисуем друг за другом несколько отрезков, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.
Теперь на каждом отрезке построим / нарисуем квадрат.
Теперь проведём прямую (а это получится прямая!) через правые верхние углы квадратов.
Посмотрите внимательно: эта прямая пересечёт горизонтальное основание всех отрезков как раз там (в той точке), куда сходится сумма бесконечного числа бесконечно уменьшающихся отрезков (!)
Разумеется, если отрезки (и квадраты) уменьшаются не в два раза на каждом шагу, а, например втрое (Ln = 1/3 . Ln-1), то наклонная «огибающая» прямая пройдёт круче и пересечёт горизонталь ближе к началу. В зависимости от отношения длин отрезков наклон «огибающей» будет меньше или больше, и точка пересечения с горизонталью сдвинется левее или правее (сумма длин всех отрезков будет меньше или больше). Главное, чтобы отношение длины каждого следующего отрезка к длине предыдущего было меньше 1.
Обобщим
Возвращаясь к расстоянию, которое пробежал Ахилл, пока догонял черепаху. Если отношение скоростей (черепахи и Ахилла) обозначить
, то сумма всех отрезков пути будет:
Обозначим
Тогда
Значит
и, наконец,
Это выражение для суммы сходящейся геометрической прогрессии.
Итак, если отношение скорости черепахи к скорости Ахилл равно q, то Ахилл догонит черепаху, пробежав расстояние
Или: время, которое затратит Ахилл, догоняя черепаху
Что, вообще говоря, понятно и без Зеноновых штучек 😉.
Естественно, все рассуждения справедливы для случаев, когда q < 1. В другом случае
(q = 1 или q > 1) Ахилл бежит не быстрее черепахи, а это значити, что Ахилл не догонит черепаху никогда 😉