Эпидемия

Преамбула

1. Уже не первый год общей, интересующей всех темой стала пандемия COVID-19 / SARS-CoV-2. Ёй посвящены новости, заседания правительств, сплетни и слухи, конспирологические теории… А уж борьба с пандемией вызывает не только обсуждения. Конфликты между “масочниками” и “анти-масочниками”, теми, кто за прививки, и кто против перерасают в демонстрации и не всегда мирные акции. Казалось бы: 21-й век, наука доказала свою состоятельность, развите медицины привело к искоренению многих страшных болезней и весьма ощутимому увеличению средней продолжительности жизни (сравните данные за 19 век, начало 20 века и современные). Однако, когда разговор заходит о пандемии и вакцинации, люди часто забывают, чему их учили в школе, ссылаются на слухи или отдельные случаи, когда надо говорить о статистике; чаще говорят “верю” / “не верю”, чем ссылаются на объективные проверенные научные данные.

2. Как-то раз на досуге возникла идея: а почему не попробовать построить модель пандемии-эпидемии? Такая модель может быть полезной, ну, или, хотя-бы, интересной. Любая модель это упрощение, точность модели – всегда предмет обсуждения. Однако, какие-то интересные закономерности, корреляции получить можно используя даже простую модель. 

И вот что получилось

Модель

“Механическая часть” модели - упрощенная модель (двумерного) броуновского движения. Внутри прямоугольника движутся без трения шарики. Взаимодействие происходтит только при столкновении шариков друг с другом и/или с границей прямоугольника. Взаимодействие описывается как упругое столкновение. Начальное положение, скорость и направление движения каждого шарика – случайные величины (с определёнными пределами).

Кроме этого, каждый шарик имеет своё состояние: либо “здоров”, либо “болен”, либо “переболел/выздоровел/вакцинирован”, либо “мертв”. Соответствующие параметры модели:

• вероятность “здорового” шарика стать “больным” (при столкновении с “больным” шариком),

• вероятность “переболевшего/вакцинированного” шарика стать “больным” (при столкновении с “больным” шариком),

• вероятность “больного” шарика “выздороветь”, то есть стать “вакцинированным” в течение всего моделируемого времени,

• вероятность “больного” шарика “умереть” в течение всего моделируемого времени.

Изменение состояния шариков происходит случайным образом в соответствии с заданными вероятностями (метод Монте Карло).

Приведённые выше параметры были выбраны для численного представления “общепринятых” характеристик. Так количество шариков и размер облати характеризуют плотность “населения”. Вместе со скоростями шариков эта плотность характеризует количество столкновений (контактов) в единицу времени. Скорости шариков, размеры области и моделируемое время определяют также сколько раз шарик/участник (потенциально) может пересечь облась моделирования (дальность поездок или подвижность). Вероятности говорят сами за себя.

Конечно, значения параметров должны быть в разумных пределах. Иначе, ожидать разумных результатов трудно. 😉

Результаты моделирования убедительно показывают, что скорость роста заболеваемости и пиковые значения числа заболевших сильно зависят от модельных параметров скорости передвижения, а значит и от числа контактов. Также очевиден и рост смертности при увеличении числа контактов за моделируемое время.

Так же показано, что ограничение передвижения лишь для части населения не приводит к существенному улучшению ситуации. Результаты моделирования показывают, что рост числа больных и количество выздоровевших определяются – в основном – участниками, которых ограничение передвижения не коснулось. 

Таким образом, ограничения передвижения существенно снижают как риск заболеть, так и (потенциальную) загруженность больниц.

2. Вакцинация

Рассмотрим всияние вакцинации на заболеваемость, число здоровых и умерших. В численных экспериментах менялось начальные значения числа “вакцинированных” и “здоровых/не-болевших”, оставляя полное их число постоянным (10000). 

Результаты моделирования показывают, что заметный эффект от вакцинации проявляется только когда число вакцинированных достигает - как минимум - 50% (больше - лучше). При этом, увеличение числа контактов / подвижности (скорости движения) снижает этот эффект (вакцинации). 

Заключение

Итак, неожиданного не произошло. Как и подсказывал здравый смысл, ограничение числа контактов и вакцинация способствуют уменьшению заболеваемости (особенно повторнй) и смертности. Особо следует отметить, что эффективность этих мер очень сильно зависит от чила вовлечённых/охваченных. Ограничиение в передвижении и/или вакцинация только малой части населения не улучшает ситуацию. 

Понятно, что заставить всех сидеть дома невозможно. Да и экономика этого не выдержит. Поэтому следует ограничивать число контактов насколько это возможно, и вакцинировать подавляющее большинство людей. 

Приложение 1

Подвижность / число контактов

В четырёх (численных) экспериментах менялись только минимальная и максимальная скорости. То есть, отдельно моделировались случаи от очень высокой подвижности (путь, пройденный одним участником за моделируемое время превышает размер области более, чем в 5 раз) до ограниченной (путь, пройденный одним участником за моделируемое время меньше размера области миниммум в 4 раза). Значения, полученные по окнчании рассчётов, приведены в Таблице 1. 

Уже из этих данных видна сильная зависимость количества здоровых, больных, умерших от числа контактов. Более детальный анализ можно провести, рассматривя данные в развитии, то есть, зависимости от времени.

В проведённых численных экспериментах скорость передвижения была (почти) одинаковой для всех участников. Посмотрим, что получится, если скорость передвижения будет существенно разной для разных участников в одном эксперименте. То есть, ограничения передвижения коснутся только части населения. Ниже представлены результаты для двух экспериментов: минимальня скорость=1, максимальная скорость=50, и минимальня скорость=1, максимальная скорость=30. Для сравнения показаны результаы экспериментов из Таблицы 1. 

Хорошо видно, что ограничение передвижения лишь для части населения не приводит к существенному улучшению ситуации. Результаты на Рис. 5,6 показывают, что рост числа больных и количество выздоровевших определяются – в основном – участниками, которых ограничение передвижения не коснулось. 

Приложение 2

Вакцинация

Теперь рассмотрим всияние вакцинации на заболеваемость, число здоровых и умерших. В первых трёх экспериментах из Таблицы 1 будем менять соотношение числа “вакцинированных” и “здоровых/не-болевших” (начальные значения), оставляя полное их число постоянным (10000). Результаты моделирования представлены ниже в таблицах 2-4. Первый ряд для результатов "чистого" эксперимента (10000 здоровых, 0 вакцинированных, 1000 больных); второй ряд: 9000 здоровых, 1000 вакцинированных, 1000 больных; третий ряд: 8000 здоровых, 2000 вакцинированных, 1000 больных; четвёртый ряд: 5000 здоровых, 5000 вакцинированных, 1000 больных; пятый ряд: 2000 здоровых, 8000 вакцинированных, 1000 больных.

Зависимости числа здоровых, больных и умерших от времени для всех экспериментов показаны на Рис. 7-12.

Из приведённых данных видно, что заметный эффект от вакцинации проявляется только когда число вакцинированных достигает - как минимум - 50% (больше - лучше). При этом, большее число контактов / подвижность (скорость движения) снижает этот эффект.