На эту задачку наткнулся в интернете.
Попытался найти "аналитическое" решение.
Вот что получилось.
Задача
Построить лесенку максимальной длины (по горизонтали) из N одинаковых по массе и размерам однородных блоков (кирпичей/плит/...)
Блоки никак не крепятся, а просто лежат друг на друге. То есть, проекция центра тяжести (совокупности) верхних блоков на горизонталь находится в пределах площади опоры (в пределах самого нижнего блока).
Давай попробуем ?
1. Решение нетерпеливого ребёнка.
Центр тяжести каждого блока нахолится в его "геометрическом" центре. Если L - длина блока, то его центр тяжести находится на расстоянии L/2 от края блока.
Значит верхний блок может быть смещен относительно нижнего не больше, чем на S = L/2
Добавление наверх ещё одного блока (со смещением в том же направлении, чтобы получалась лесенка) невозможно, так как при этом центр тяжести двух верхних блоков выйдет за пределы нижнего блока (который является для них опорой).
Длина лестницы при этом 1.5*L
2. А если чуть-чуть подумать?
Зачем сразу брать максимальное смещение?
Что получится, если смещение S будет меньше? Похоже, что количество ступеней может быть увеличено.
Попробуем формализовать задачу.
Пусть X-координата центра тяжести нижнего блока равна Xo. Каждый последующий блок смещен (относительно предыдущего) в одну и ту же сторону (например, вправо) на величину S (чтобы получилась лесенка). Координаты блоков лестницы (их центров):
или
Тогда X-координата центра тяжести совокупности n блоков:
(1)
Так как самый нижний блок (k=0) расположен при Xo , то условие устойчивости лестницы:
(2)
Перепишем (2) в виде:
(3)
Вспомним, что сумма первых n целых чисел равна:
В конце концов, для смещения S из (3) получим:
А длина лестницы вдоль Х (горизонтальная проекция)
не превышает 2L.
Кстати, высота лестницы (~n) зависит от её крутизны.
Это похоже на параллелепипед, центр кртрого проецируется на основание.
3. А если ещё подумать?
Почему все смещения должны быть одинаковы?
Если смещения блоков не одинаковы, то X-координаты их центров (тяжести):
или
(4)
Х-координата центра тяжести совокупности n блоков всё так же (1):
С учётом (4), центр тяжести:
А условие устойчивости лестницы (когда самый нижний блок (k=0) расположен при Xo ):
Для удобства "нормируем" смещения на L/2 :
Теперь условие устойчивости лестницы:
То есть, сумма n чисел меньше или равна n. Простейшее решение (и отвечающее условию устойчивости): каждое слагаемое меньше или равно 1. То есть:
(5)
Максимальные возможные значения смещений достигаются / соответствуют знаку раветства.
Самое маленькое смещение внизу: (при k=1):
k = 1, f1 = 1 / n ;
k = 2, f2 = 1 / (n-1) ;
k = 3, f3 = 1 / (n-2) ;
...
k = n-2, fn-2 = 1/3 ;
k = n-1, fn-1 = 1/2 ;
k = n, fn = 1
самое большое - у верхнего блока (при k=n).
Заметим, что если изменить нумерацию блоков (начать счет сверху), то (5) будет выглядеть проще:
Итак, получается лестница непостоянной крутизны. Длина лестницы (по-горизоннали) растёт как
То есть, можно построить лестницу какой угодно длины !
