Лучи
и геометрическая оптика
Геометрическая оптика
Модель «Геометрическая оптика» оперирует понятием «луч» и прекрасно описывает прохождение света через прозрачные среды, работу практически всех (любых) оптических приборов (бинокли, телескопы, микроскопы, объективы фотокамер ит.д.). Без геометрической оптики невозможно было бы разработать ни первую подзорную трубу, ни современный радиотелескоп. Геометрической оптики достаточно для решения многих задач ...до тех пор, пока «разглядываемые» предметы не слишком малы. При этом, в основании геометрической оптики лежат всего два основных закона - отражения и преломления света на границе двух сред. Эти законы, в свою очередь, являются следствиями из одного (!) принципа минимального времени (распространения луча).
Правда, надо отметить, что на вопрос: как луч находит кратчайший по времени путь? - геометрическая оптика не отвечает.
Отражение
Рассмотрим отражение луча от плоской границы. Так как луч распространяется в одной среде (с постоянной скоростью V), то время распространения T пропорционально длине пути L:
Найдём минимальное расстояние между двумя точками А и В, при условии отражения (луч должен пройти через некую точку X на «отражающей прямой».
Минимуму расстояния L cоответствует условие
С учётом того, что
имеем:
То есть,
а это означает, что угол падения равен углу отражения: β = α.
Заметим, что второе решение: β = π - α соответствует лучу АВ', проходящему через «отражение» точки В.
Преломление
При пересечении границы двух сред (с различной скоростью распространения луча) минимальное время достигается не вдоль прямолинейной траектории, а вдоль оптимальной ломаной. Увеличение времени движения (и длины пути) в среде с большей скоростью компенсируется уменьшением времени (и длины пути) в среде с меньшей скоростью.
Покажем это.
Найдём путь, требующий минимального времени для распространения луча между точками А и В.
В зависимости от положения точки X на «преломляющей прямой» длина пути:
Скорости рапространения V1 в «верхней» среде (где находится точка А) и V2 в нижней среде (где находится точка В) различны.
Тогда время распространения:
Минимуму времени T cоответствует условие
С учётом того, что
имеем:
То есть,
или
Получается, что «удлиннение» пути в одной среде (с большей скоростью распространения), а значит увеличиение времени Т1 с лихвой компенсируется «укорочением» пути в другой среде (с меньшей скоростью распространения) и уменьшением времени Т2.
Отношение скоростей распространения называют коэффициентом преломления n = V1/V2.
Полное внутреннее отражение
При переходе луча из одной среды в другую угол преломления зависит от угла падения (отсчитывается от перпендикуляра к границе раздела сред).
При некоторых условиях:
переход из среды с меньшей скоростью распространения лучей в среду с большей скоростью
достаточно больших углах падения α
выражение для угла преломления теряет смысл: значение функции синус не может быть больше единицы!
Чтобы разобраться, что же это значит, проследим за углом преломления при постепенном увеличении угла падения.
Всё идёт нормально, пока угол преломления не достигнет максимально возможного значения 90 градусов. При этом преломлённый луч не проникает во вторую среду (с большей скоростю распространения), а идёт вдоль границы. Очевидно, что увеличение угла падения приведёт лишь к тому, что луч полностью отразится от границы раздела и останется в первой среде (с меньшей скоростью распространения)!
Этот явление называется полным внутренним отражением. Пример использования этого эффекта - световоды - тонкие волокна, в которых свет распространяется от одного конца (торца) до другого, отражаясь от боковых стенок.
Линза
Замечательный оптический прибор — линза — прозрачное вещество, ограниченное одной или двумя сферическими (или почти сферическими) поверхностями. Кто первый и когда изобрёл линзу - неизвестно. Скорее всего началось с украшений из (полу-) прозрачных камней и, вдруг, кто-то обратил внимание на удивительные свойства...
Пусть на плоскую прозрачную (стеклянную) пластину перпендикилярно поверхности падает пучок параллельных друг другу лучей. Пройдя через пластину лучи так и останутся параллельными друг другу и начальному направлению. Ведь угол падения лучей на поверхность равен нулю и "на входе" и "на выходе"...
А что, если вторая поверхность пластины не параллельна первой?
Тогда на второй поверхности (границе раздела) угол падения не равен нулю, и лучи, преломляясь, изменят направление.
А если сделать вторую поверхность не плоской, то когда на неё попадает пучок параллельных лучей, углы падения будут разными от луча к лучу. Углы падения будут зависеть от точки пересечения поверхности.
Значит будут различаться и углы преломления. То есть, лучи, параллельные друг другу "на входе" будут пересекаться после "выхода".
Кстати, толщина «стекла» для каждого луча будет своя, а это значит, что и время распространения в "стекле" будет разным для разных лучей.
Сферическая поверхность границы сред с различной проницаемостью (скоростью распространения света в среде) порождает удивительные свойства. Линза может собирать в точку или рассеивать параллельные лучи. Например, собирающая линза работает так, что каждый пучок параллельных лучей фокусируется (собирается) в отдельную точку на фокальной плоскости.
За счёт различия углов падения/преломления каждый луч отклоняется от начального направления по-своему. Более того, разница в толщине линзы (для каждого луча) «компенсирует» разницу в длине пути от линзы до точки, где лучи пересекаются. И лучи приходят в точку фокуса одновременно. Насколько это важно, поговорим позже...
Линзу можно рассматривать как «преобразователь углов в координаты»: направление лучей (угол падения пучка на линзу) преобразуется в точку на плоскости. Причём работает такой «преобразователь» в обе стороны: если в фокусе линзы поместить маленькую лампу (источник света), то линза сформирует параллельный пучок света из расходящихся от лампы лучей.
Комбинируя подходящие линзы, можно построить и телескоп для наблюдения за далёкими звёздами и планетами, и микроскоп, позволяющий разглядеть мельчайшие объекты, и много других полезных оптических приборов: прожекторы, осветители, объективы фотокамер и т.д..
Вот так прицип наименьшего времени вкупе с геометрией позволяют описывать характеристики любых оптических приборов, разрабатывать новые приборы с заданными свойствами и т. д.
Отметим, что фокусировать пучки света можно и при помощи зеркал. Только если у линзы преломляющая поерхность не плоская, то у фокусирующего зеркала должна быть не плоской отражающая поверхрность.
Схема осветителя, формирующего параллельный пучок лучей. Используется (например) при строительсве маяков.
