свет в темноте
зоны Френеля и дифракция
Рассмотрим самомый простой случай — распространение плоской волны в пустоте (без препятствий). Применяя принцип Гюйгенса-Френеля разберёмся в деталях...
Пусть плоская волна распространяется слева направо. Рассмотрим две вертикальные плоскости (Р1 и P2), параллельные фронту волны и расположенные достаточно далеко друг от друга (расстояние намного -во много раз- больше длины волны). Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка фронта в первой (Р1) плоскости «производит» сферическую волну. Как эти - вторичные - волны складываются в какой-нибудь точке второй плоскости (скажем, в точке N)?
Порассуждаем. Расстояния от различных точек первой плоскости до точки N различны. Значит всегда можно найти пару точек таких, что разность хода от них до N составит половину длины волны. Более того, для любой точки первой плоскости можно найти такую «парную». Хмм! Значит-ли это, что в N все вторичные волны «погасят» друг друга? Но это же противоречит реальности!
Давайте не спешить, а думать. Начнём с кратчайшего расстояния от первой плоскости до N:
L0 = ОN.
Теперь найдём точки, расстояние от которых до N на половину длины волны больше:
Рис.1. Выбор точек в плоскости P1 на заданном расстоянии от точки наблюдения N.
Очевидно, что эти точки образуют окружность на первой плоскости с центром в точке О. Радиус окружности (по теореме Пифагора):
Так как расстояние L0 во много раз превосходит длину волны, то слагаемым
можно пренебречь. Тогда получим:
Заметим, что волны из точек внутри круга не гасят друг друга в N (так как разность хода меньше половины длины волны). Обозначим их суммарную амплитуду А1.
Теперь выберем точки, расстояние от которых до N равно
Это будет окружность радиуса r2 > r1 . Точки внутри этой окружности (за исключением точек первого круга) образуют на первой плоскости кольцевую область (с центром в О). Расстояния от этих точек до N отличаются друг от друга меньше чем на половину длины волны. Значит волны из точек этого кольца опять-таки не гасят друг друга в N. Обозначим суммарную амплитуду волн от кольца А2.
Рис.2. Построение областей с увеличивающимся расстоянием до точки наблюдения.
При этом сумма волн из первой области (круга) и сумма волн из второй области (кольца) имеют разность хода (до точки N) равную половине длины волны.
То есть, вклады волн от первой и второй областей в точке N имеют разные знаки.
Далее, можно построить третью, четвёртую и т.д. кольцевые области, точки котороых находятся от N на расстоянии меньшем,чем
Lo + соответствующее число половинок длины волны.
Вклады волн от областей будут попеременно менять знак (из-за отличия расстояний в половину длины волны). Так что сумма всех вкладов от всех (вторичных) волн из плоскости P1 в N будет:
А1 - А2+А3 - А4+А5 - А6 + ...
«Мощность», излучаемая каждой областью зависит от ее площади.
Площадь первой области (круга) равна
Площадь кольцевой области
Здесь rn – внешний радиус обасти номер n.
По теореме Пифагора (Рис.1, 2)
Здесь
Так как расстояние L0 во много раз превосходит длину волны, то слагаемым
можно пренебречь.
То есть,
Тогда площадь круга (первой области):
Полщадь кольцевой области номер n :
И получается, что площади всех областей (приблизительно) равны друг другу.
В то же время, расстояния от каждой последующей области до точки наблюдения N растут. Также меняется угол, под которым волны приходят в N от разных областей. Это приводит к уменьшению воздействия (сферических) волн по мере удаления областей от N.
Таким образом, в (бесконечной) сумме А1 - А2+А3 - А4+А5 - А6 + … каждое последующее слагаемое по модулю меньше предыдущего. А это значеит, что сумма не равна нулю. Уже хорошо!
Если посмотреть на бесконечную сумму повнимательнее и подумать...
Что получается, если закрыть преградой (экраном) все области, начиная со второй и оставить только круглое отверстие, соответствующее первой области?... Тогда от бесконечной суммы останется только первое слагаемое, из которого ничего не вычетается.
Значит интенсивность света в точке N возрастёт! Большую часть светового потока перекрыли, а света стало больше ?!?! Ошибка? Нет!
Это правда. В точке N интенсивность света возрастёт. Правда других - удалённых от N - точках второй плостости станет темнее. Закон сохранения энергии никуда не делся. Но для одной точки N результат ошеломляющий! И предсказать его, не пользуясь принципом Гюйгенса-Френеля, невозможно.
Ещё больший эффект можно получить, перекрыв все чётные области, тогда в бесконечной сумме останутся только слагаемые с одним знаком и интенсивность света в N ещё больше возрастёт! Система открытых кольцевых зон будет работать … как линза!
Fig.3. Schematic representation of the first 10 Fresnel zones.
Наконец, отметим, что описаные выше «чудеса» и «волшебные» области придумал / открыл Огюстен Жан Френель, разработавший теорию дифракции. С тех пор эти области называют зоны Френеля.
Напоимним, что здесь мы говорили об одной длине волны. Для разных длин волн (из которых состоит белый свет) зоны Френеля разые.
Дифракция
Примем интенсивность света без преграды (в полносстью ооткрытой области) за 1.
Что произойдёт, если на пути плоской волны поместить экран с небльшим круглым отверстием? Согласно дифракционной теории Френеля, интенсивность света в точке под центром отверстия будет зависеть от расстояния от экрана до точки наблюдения (от того, сколько зон Френеля разместится в отверстии). Если отверстие соответствует одной зоне, то интенсивность в точке наблюдения (под центром) больше, чем 1. Если в отверстии помещается четное число зон, то интенсивность будет меньше 1.
При смещении точки наблюдения от центра расстояние до краев отверстия становится разным. В результате образуются чередующиеся светлые и тёмные кольца.
Дифракция на круглом отверстии для различного числа зон Френеля.
Кстати, далеко не все приняли идеи и теорию дифракции Френеля. Забавный случай произошёл с критикой теории дифракции.
Симеон Дени Пуассон (критикуя) показал, что согласно теории дифракции Френеля, при некоторых условиях, в самом центре геометрической тени круглого препятствия должна находится светлая точка. А так как это утверждение абсурдно, то теория неверна! Но... Франсуа Жан Доминик Арго поставил соответствующий опыт и... доказал, что светлое пятно в центре тени появляется (!) и, тем самым, выводы Пуассона лишь подтверждают теорию Френеля.
Пятно Пуассона в центре геометрической тени.
