Суммы бесконечных наборов чисел (рядов) могут иметь конечное значение. Главное, чтобы числа в таком наборе уменьшались; чем дальше от начала ряда – тем число должно быть меньше. Причём уменьшаться числа должны достаточно быстро. Так, сумма
расходится (то есть не имеет конечного значения).
Рисунок 1. Сумма ряда 1/n увеличивается до бесконечности с увеличением числа слагаемых.
А сумма
сходится к конечной величине 2 (чем больше берём слагаемых, тем ближе результат к 2).
Рисунок 2. Изменение суммы ряда 1/2n с увеличением числа слагаемых от 1 до 10
С рядами, в которых числа не уменьшаются, ситуация … скажем так: странная. Сначала рассмотрим пару примеров, когда числа в рядах меняют знак (+/-) от числа к числу.
Пример 1.
Если взять одно, три, пять… - любое нечётное число слагаемых, то, очевидно, что сумма будет равна 1. Если взять два, четыре… - чётное число слагаемых, то в сумме получим 0. А бесконечное число слагаемых, оно чётное или нечётное 🤔? Какова будет сумма бесконечного числа слагаемых? Явно не бесконечность. Значит конечное значение? Какое?
Обозначим это значение (сумму бесконечного числа слагаемых) S. А теперь запишем, что получится при вычитании 1-S :
Так ведь это опять получается бесконечная сумма единичек с чередующимися знаками! То есть, S. Значит
Или
Или
Результат неожиданный, странный. Можно, конечно, сказать, что это среднее арифметическое между суммами для чётного числа слагаемых (0) и для нечётного числа слагаемых (1). Но это ничего не доказывает…
Пример 2.
Здесь сумма, становится то отрицательной, то положительной (для чётного или нечётного числа слагаемых) и, при этом, сумма растёт по абсолютной величине.
Рисунок 3. Изменение суммы с увеличением числа слагаемых от 1 до 50
Трудно предположить, что бесконечное число слагаемых даст конечную сумму… Однако, попробуем предположить. (Выше – по-разному комбинируя слагаемые – мы получили три различных результата для этой суммы. Здесь попробуем «по-новому».)
Опять обозначим
Теперь возьмём две такие суммы, к одной добавим впереди ноль (что, конечно, не изменит суммы), и, наконец, сложим эти две суммы друг с другом почленно:
В примере 1 мы получили, что сумма 1-1+1-1… равна ½. То есть, в нашем случае, сложив две суммы, мы получим:
Или
Тоже выглядит странно для суммы возрастающих по абсолютной величине членов.
Однако…
Никто не обещал, что с бесконечностями будет просто 😉.
Суммирование по Абелю
Великий норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829) называл расходящиеся ряды изобретением дьявола. Чтобы как-то работать с расходящимися рядами, обходясь без трюков, Абель придумал интересный общий подход.
Для начала вспомним, что практически любую (гладкую) функцию можно представить в виде бесконечного полинома/многочлена (ряд Тейлора/Макларена).
Идея Абеля – упрощенно – такая: если рассматривать ряд чисел как коэффициенты ряда Тейлора (an), то сумма ряда чисел – это значение функции f при x=1.
Вполне логично. И, кстати, ряды из примеров 1 и 2 соответствуют достаточно простым функциям:
И, при x=1, эти функции равны ½ и ¼ , соответственно (!)
Интересно посмотреть, как ведут себя частичные суммы (суммы нескольких первых слагаемых) многочленов в зависимости от значения Х. И ещё - сравнить их с функцией, к которой ряд сходится.
Рисунок 4. Зависимости частичных сумм первых 3, 4, 5, 10, 15 членов ряда и функции 1/(1+x) от аргумента Х.
Рисунок 5. Зависимости частичных сумм первых 3, 4, 5, 10, 15 членов ряда и функции 1/(1+x)2 от аргумента Х.
Видно, что в начале (недалеко от Х=0) все частичные суммы практически совпадают с соответствующей функцией (как и ожидалось, как и должно быть). При увеличении Х значения частичных сумм становятся менее точными (всё дальше отходят от функции). При этом, чем больше слагаемых в частичной сумме, тем «шире» область, где частичная сумма (её значение) практически совпадает с функцией. А вот за пределами этой области, при больших Х, разница значений частичной суммы и функции растёт всё быстрее. И знак этой разницы зависит от (чётного или нечётного) числа слагаемых в частичной сумме. Каждое последующее слагаемое (вида aXn) «старается притянуть» сумму к функции и добавляет или вычитает всё меньше и меньше вблизи Х = 0 и всё больше и больше при увеличении Х (вблизи Х = 1). Частичные суммы «машут хвостом» сильнее и сильнее выше и ниже функции.
Такая вот нестабильная сходимость…
Были придуманы и другие методы/подходы для определение сумм бесконечных неубывающих последовательностей/рядов. Но для их обсуждения нужно "нырнуть" в математику поглубже, познакомиться со своеобразной дзета-функцией... А для этого есть учебники.
_____________________________
Еще немного бесконечного
Вот ещё один интересный пример. Можно ли найти сумму всех натуральных чисел? Теперь знак у слагаемых не меняется, а сами слагаемые увеличиваются … до бесконечности. Попробуем найти сумму? 🤔
Пусть
Тогда
Найдём разницу, вычитая почленно так, как показано ниже:
Вспомним (пример 2 выше), что 1-2+3-4… = ¼, тогда получаем:
То есть, сумма всех натуральных чисел
Каково? 😮
К такому результату пришёл Сриниваса Рамануджан Айенгор (1887—1920).
См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_из_натуральных_чисел
__________________
Ну, и, наконец «развенчание» некоторых трюков.
Рассмотрим
Добавим (впереди) 0:
Теперь почленно вычтем:
Сумма бесконечного числа единиц равна нулю? 🤔
Ещё раз повторим трюк – теперь с этим странным результатом. Снова добавим 0 впереди и почленно вычтем из суммы бесконечного числа единиц:
То есть, 0 = 1. Это уже совсем ни в какие ворота не лезет! 👆
Так что, повторим ещё раз: с бесконечностями надо обращаться осторожно, с большой аккуратностью и вниманием. Главное, не забывать, что стоит за бесконечной суммой в каждой конкретной задаче.
______________
Что касается трюков с перестановками слагаемых, с почленным вычитанием/сложением, то доверять им надо с осторожностью. Не всё привычное справедливо, когда речь заходит о бесконечностях…