Гармоничность мира - в единстве и взаимосвязи предметов и явлений. Наверное, именно поэтому модели / формулы, описывающие мир так компактны, изящны, красивы. И - как и описываемые явления - переходят друг в друга.
Преамбула
В середине 19 века Джеймс Клерк Максвелл записал свои великие уравнения для электрического и магнитного полей. Это было сделано на основе анализа известных экспериментов (sic!)
Уравнения Максвелла образуют полную систему: они описывают все (любые) явления в электродинамике. Они сыграли важную роль при возникновении специальной теории относительности. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии...
Большой класс задач связан с распространением электромагнитных волн (света). В отсутствие зарядов и токов электрическое и магнитное поля описываются волновым уравнением (это прямо следкует из уравнений Максвелла). Для гармонического сигнала всё сводится к уравнению Гельмгольца:
(1)
Здесь
Любая плоская волна (идеальная бесконечная с постоянной амплитудой)
(2)
является решением уравнения (1). Значит и любая комбинация (сумма) плоских волн тоже описывается этим уравнением.
Теперь разберём более частную задачу о распространении пучка волн (света) в одном направлении. Например, правее линзы "осветителя" изображённого на рисунке:
Используя специфику задачи, электрическое поле будем искать в виде волны, распространяющейся вдоль оси 0Z
(3)
Амплитуда А зависит от координат (не постоянная, как в (2)). То есть, это не плоская волна, а нечто более сложное, распространяющееся вдоль 0Z. Попробуем найти эту амплитуду.
Запишем производные:
Если вдоль Z (направление распространения) амлитуда А меняется не слишком "резко" (а с чего бы в обычных условиях?), то можно записать:
Теперь, перепишем (1) в виде:
(4)
Минуточку... Опа! Да это же уравнение диффузии!
Только коэффициент диффузии комплексный, а "роль времени" перешла к координате Z.
То есть, прямо из этого следует, что комплексная амплитуда А меняется ("диффундирует" от большой "плотности" к малой) в плоскости X0Y (перпендикулярно направлению распространения) по мере распространения пучка.
А это.... В оптике это называют дифракцией.
Действительно, уравнение (4) описывает дифракцию ближнего поля (дифракцию Френеля)!
Очень эффективное численное решение этого уравнения реализуестся в Beam Propagation Method (BPM). Метод находит применение для решения самых разных задач. Например, позволяет оценить дифракционные искажения на отверстиях в толстых экранах (когда тощиной экрана нельзя пренебречь).
Вот так самые общие уравнения Максвелла при конкретизации условий (отсутствие зарядов и токов) перехотят в уравнение Гельмгольца, еще бОльшая конкретизация позволяет перейти к уравнению "комплексной диффузии", описывающей ... дифракцию Френеля.