Движение по окружности. Приближение многоугольниками. Парадоксы
Преамбула
Как-то раз мой друг однокашник - Олег Яковлев - предложил рассмотреть "усложненный" вариант школьной задачи.
Школьный вариант
С высоты H по наклонной плоскости соскальзывает брусок и (возможно) продолжает движение по горизонтали. Заданы: угол наклона (наклонной плоскости) и коэффициент трения k. Определить где остановится брусок.
Усложненный вариант:
Задача та же, но с дополнительным условием: наклонная плоскость переходит в горизонтальный участок плавно (без скачка производной) по дуге окружности радиуса R.
Задача оказалась интересной. Но здесь не о ней. 😉
Пока с возился с этой задачей, обнеружил парочку забавных "пародоксов". Конечно, не сравнить с тем, как Ахилл догонял черепаху, но всё-же...
Вот о них и пойдет речь ниже. 😉
Вспомним школу
Для начала еще раз вспомним школу. Движение точки по окружности.
Представим маленький грузик вращающийся вокруг некоторого центра на невесомой нерастяжимой нити. Для простоты положим, что никаких внешних сил нет. Если бы не нить, грузик двигался бы по прямой с постоянной по величине скоростью. Нить не даёт грузику дигаться от центра: сила натяжения нити N сообщает грузику центростремительное ускорение, меняющее направление движения (скорости). При этом сила натяжения не соверщает никакую работу, то есть, не меняет (кинетическую) энергию грузика, так как сила всегда перпендикулярна (элементарному) смещению. А это значит, что скорость грузика не меняется по величине.
Теперь чуть изменим условия: пусть наш грузик движется по окружности не за счёт нити, а "опираясь" на внутреннюю стенку цилиндра. Теперь центростремительное ускорение грузику (телу) сообщает реакция опоры N. Всё как и раньше. Единственная сила (реакции опоры) всегда перпендикулярна элементарному смещению, значит энергия тела не меняется, и его скорость по величине остаётся постоянной.
Теперь, наконец, про парадоксы
1. Многоугольники и окружность.
Рассмотрим приближение окружности многоугольниками. Этим занимались и древние математики, и современные программисты. 😉
Однако, при рассмотрении таким способом задачи о движении тела по внутренней поверхности цилиндра, возникают некоторые вопросы...
1.1. Движение без трения.
1.1.1. По внутренней стороне многоугольника (вдоль его рёбер). Рассмотрим два соседних ребра (сегмента) S1 и S2 правильного многоугольника (вписанного в окружность). Пока тело движется вдоль одной из сторон многоугольника (отезок прямой) - на тело ничто не действует (даже опора, так как нет внешних сил и не на что реагировать).
Только при переходе на другую сторону многоугольника происходит удар и...
Если тело движется вдоль S1 со скоростью V1, то на вершине A при переходе на S2 скорость тела уменьшается: V2 = V1*cos(a). Компоненита скорости V1*sin(a) теряется (неупругие потери на тепло/деформации; упругое взаимодействие не рассматриваем - это сложнее). На следующей вершине ещё удар, потом ещё...*) То есть, при движении по внутренней поверхности многоугольника скорость тела уменьшается от вершины к вершине даже без трения (!)
1.1.2. В то время, как при движении по окружности (без трения) скорость тела остаётся постоянной (никаких потерь нет).
Как же можно приближать окужность многоугольником?
*) Очевидно, что если многоугольник - квадрат, то угол а = 90 градусов, и уже на первой вершине / переходе скорость теряется полностью (V2 = 0). Увеличивая число сторон многоугольника, уменьшаем угол а, то есть потери на вершине/переходе от сегмента к сегменту уменьшаются. Однако растет и полное число вершин/переходов.
1.2. А что если добавить трение (F = -kN, k > 0)?
1.2.1. Движение по внутренней стороне многоугольника:
В отсутствие внешних сил при движении по внутренней поверхности многоугольника, тело теряет скорость на каждой вершине, но не чувствует никакой реакции опоры (N = 0) пока движется по отрезку прямой (стороне многоугольника). А значит не испытывает силы трения даже при ненулевом коэффициенте трения (!) Тело теряет скорость на "стыках" - при переходе с ребра на ребро, но это же не за счёт трения...
1.2.2. В то время, как при движении по окружности центростремительное ускорение появляется именно за счёт реакции опоры N. А, значит, есть сила трения F = -kN.
Как же "сопрячь" такие различия? Как мнгоугольник переходит в окружность?
2. Вечный двигатель?
Теперь рассмотрим трение тела о (внутреннюю) поверхность цилиндра поподробнее. Сила трения направлена (всегда) против направления движения. Значит скорость тела уменьшается. И возникает резонный вопрос: когда грузик (тело) остановится?
В соответствии со вторым законом Ньютона для движения вдоль траектории запишем:
Здесь m - масса тела, а - ускорение вдоль траектории, kN - сила трения (пропорциональная силе реакции опоры), k - коэффициент трения, N - сила реакции опоры.
Реакция опоры N обеспечивает центростремительное ускорение:
Здесь V - скорость тела, R - радиус окружности (траектории).
Так как
получаем простое дифференциальное уравнение:
или
,где
Интегрируея по времени t, получим:
При t = 0 скорость V = Vo, значит
Тогда для скорости получим выражение:
То есть, скорость с течением времени уменьшается, но не становится равной нулю за конечное время (!).
Посмотрим, что происходит с пройденным расстоянием L.
Так как dL/dt = V, интегрируя еще раз, получим:
При t = 0 пройденное расстояние L = 0. Значит C1 = 0, и для пройденного расстояния получаем:
То есть, пройденное расстояние L растет со временем до бесонечности при любом (!) значении коэфициента трения (k > 0).
Трение не приводит к остановке движущегося тела (!)
Это что, вечный двигатель?
Подсказка
1.1.1. ...при движении по внутренней поверхности многоугольника скорость тела уменьшается от вершины к вершине даже без трения (!)
1.1.2. В то время, как при движении по окружности (без трения) скорость тела остаётся постоянной (никаких потерь нет).
2. Вечный двигатель?
Пройденое расстояние действительно растёт со временем как логарифм ln(1+ct).
Попробуйте оценить и сравните скорости и расстояния, пройденные телом за первую и (например) пятисотую единицу времени...
Всё сразу станет ясно 😉
